七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)最全整理
來(lái)源：好上學(xué) ??時(shí)間：2023-07-25
1.?有理數(shù)
1.1.?從自然數(shù)到有理數(shù)
分?jǐn)?shù)都可以化為小數(shù)。分?jǐn)?shù)在化成小數(shù)時(shí)，結(jié)果可能是有限小數(shù)，也可能是無(wú)限循環(huán)小數(shù)。
大于0的數(shù)，叫正數(shù);小于0的數(shù)，叫負(fù)數(shù);0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。
整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)。
1.2.?數(shù)軸
像這樣規(guī)定了原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度和正方向的直線叫做數(shù)軸。
任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示。
如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么我們稱(chēng)其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。
0的相反數(shù)是0。
在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)(0除外)的兩個(gè)點(diǎn)，位于原點(diǎn)的兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離相等。
1.3.?絕對(duì)值
我們把一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。
一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值表示為|a|。
一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身;一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);0的絕對(duì)值是0。
互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等。
1.4.?有理數(shù)的大小比較
在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。
正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。
兩個(gè)正數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)大;兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而小。
2.?有理數(shù)的運(yùn)算
2.1.?有理數(shù)的加法
同號(hào)兩數(shù)相加，取與加數(shù)相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。
異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。
互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0;一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。
加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。
a?+?b?=?b?+?a
加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前面兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變。
(?a?+?b?)?+?c?=?a?+?(?b?+?c?)
2.2.?有理數(shù)的減法
減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。
有理數(shù)加減混合運(yùn)算的一般步驟是先利用減法法則，將減法轉(zhuǎn)換成加法，再運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律，使計(jì)算簡(jiǎn)便。
2.3.?有理數(shù)的乘法
兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。
任何數(shù)與零相乘，積為零。
(?多數(shù)相乘，偶數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)相乘為正，奇數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)相乘為負(fù)。)
有多個(gè)不為0的有理數(shù)相乘時(shí)，可以先確定積的符號(hào)，再將絕對(duì)值相乘。若其中一個(gè)乘數(shù)為0，則積為0。
若兩個(gè)有理數(shù)的乘積為1，就稱(chēng)這兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。
0不論乘以任何數(shù)都等于0，不等于1，所以0沒(méi)有倒數(shù)。
乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變。
a?×?b?=?b?×?a
乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不變。
(?a?×?b?)?×?c?=?a?×?(?b?×?c?)
分配律：一個(gè)數(shù)與兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別與這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加。
a?×?(?b?+?c?)=?a?×?b?+?a?×?c
2.4.?有理數(shù)的除法
兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除;0除以任何一個(gè)不為0的數(shù)都得0。
除以一個(gè)數(shù)(不等于0)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。
2.5.?有理數(shù)的乘方
一般地，在數(shù)學(xué)上我們把n個(gè)相同的因數(shù)a相乘的積記做an，即
a?×?a?×?......?×?a?×?a?=?an
求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，讀作“a的n次方”或“a的n次冪”。
2.6.?有理數(shù)的混合運(yùn)算
一般地，有理數(shù)混合運(yùn)算的法則是：
先算乘方，再算乘除，最后算加減，如有括號(hào)，先進(jìn)行括號(hào)里的運(yùn)算。
2.7.?近似數(shù)
與實(shí)際完全符合的數(shù)稱(chēng)為準(zhǔn)確數(shù)。
與實(shí)際接近的數(shù)稱(chēng)為近似數(shù)。
對(duì)近似數(shù)，需要知道它的精確度，一個(gè)近似數(shù)的精確度可用四舍五入法表述。
3.?實(shí)數(shù)
3.1.?平方根
一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。
一個(gè)正數(shù)有正、負(fù)兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù);0的平方根是0;負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。
一個(gè)正數(shù)a的平方根可以用“±√a”表示?(?讀做“正、負(fù)根號(hào)a”)，其中a叫做被開(kāi)方數(shù)。
求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫做開(kāi)平方。開(kāi)平方是平方運(yùn)算的逆運(yùn)算，可以運(yùn)用平方運(yùn)算求一個(gè)數(shù)的平方根。
正數(shù)的正平方根稱(chēng)為算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根是0。
3.2.?實(shí)數(shù)
=?1.414?213?562?373?095?048......它既不是有限小數(shù)，也不是無(wú)限循環(huán)小數(shù)?(不能化為分?jǐn)?shù))
像?這種無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)。如：π，?......
如果我們把整數(shù)看做小數(shù)部分為零的有限小數(shù)，那么有理數(shù)便是有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)的統(tǒng)稱(chēng)。
和有理數(shù)一樣，無(wú)理數(shù)也可分為正無(wú)理數(shù)和負(fù)無(wú)理數(shù)。
有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)。
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示;反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)。所以，實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。
在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)。
3.3.?立方根
一般地，一個(gè)數(shù)的立方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根，記做?。其中a是被開(kāi)方數(shù)，3是根指數(shù)，符號(hào)“?”讀做“三次根號(hào)”。
求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)立方。
一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根，一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)得立方根，0的立方根是0。
3.4.?實(shí)數(shù)的運(yùn)算
實(shí)數(shù)運(yùn)算的順序是：先算乘方和開(kāi)方，再算乘除，最后算加減，如果遇到括號(hào)，則先進(jìn)行括號(hào)里面的運(yùn)算。
4.?代數(shù)式
4.1.?用字母表示數(shù)
若a≥?0，則|a|?=?a?;若a?
4.2.?代數(shù)式
如：10a+2b，2a2這樣，由數(shù)、表示數(shù)的字母和運(yùn)算符號(hào)組成的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱(chēng)為代數(shù)式。這里的運(yùn)算是指加、減、乘、除、乘方和開(kāi)方，單獨(dú)一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也稱(chēng)代數(shù)式。
4.3.?代數(shù)式的值
一般地，用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計(jì)算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值。
4.4.?整式
由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也叫單項(xiàng)式，如0，-1，a......
單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)。如：-3x的系數(shù)是-3。
一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。如：ab的次數(shù)是2，-3x的次數(shù)是1。
由幾個(gè)單項(xiàng)式相加組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式。在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。
如：a2?+?3a?-?2的項(xiàng)有：a2、3a、-?2，常數(shù)項(xiàng)是-?2，次數(shù)最高的項(xiàng)a2的次數(shù)是2，a2?+?3a?-?2稱(chēng)為二次多項(xiàng)式。
單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式。
4.5.?合并同類(lèi)型
多項(xiàng)式中，所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類(lèi)項(xiàng)。所有常數(shù)項(xiàng)也看做同類(lèi)項(xiàng)。把多項(xiàng)式中的同類(lèi)項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類(lèi)項(xiàng)。
合并同類(lèi)項(xiàng)的法則是：
把同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。
4.6.?整式的加減
代數(shù)式運(yùn)算的去括號(hào)法則：
括號(hào)前是“+”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不變號(hào);括號(hào)前是“-”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“-”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都變號(hào)。
5.?一元一次方程
5.1.?一元一次方程
如：2x+12=14，兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是一次，這樣的方程叫做一元一次方程。
使一元一次方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解。
5.2.?等式的基本性質(zhì)
等式的性質(zhì)1：等式的兩邊都加上(或都減去)同一個(gè)數(shù)或式，所得的結(jié)果仍是等式。
如果?a?=?b，那么a?±?c?=?b?±?c
等式的性質(zhì)2：等式的兩邊都乘或都除以同一個(gè)數(shù)或式(除數(shù)不能為0)，所得的結(jié)果仍是等式。
如果?a?=?b，那么ac?=?bc，或a/c?=?b/c?(c≠0)
5.3.?一元一次方程的解法
一般地，把方程中的項(xiàng)改變符號(hào)后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫做移項(xiàng)。移項(xiàng)時(shí)，通常把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊。
移項(xiàng)時(shí)應(yīng)注意改變項(xiàng)的符號(hào)。
方程變形的常用方法：
去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)......(去分母和移項(xiàng)的依據(jù)是等式的性質(zhì)，去括號(hào)和合并同類(lèi)項(xiàng)的依據(jù)是代數(shù)式的運(yùn)算法則)
一般地，解一元一次方程的基本程序是：
去分母?→?去括號(hào)?→?移項(xiàng)?→?合并同類(lèi)項(xiàng)?→?兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)
5.4.?一元一次方程的應(yīng)用
運(yùn)用方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程：
1.審題
2.設(shè)元
3.列方程
4.解方程
5.檢驗(yàn)
問(wèn)題解決的基本步驟：
1.理解問(wèn)題
2.制定計(jì)劃
3.執(zhí)行計(jì)劃
4.回顧
6.?圖形的初步知識(shí)
6.1.?幾何圖形
點(diǎn)、線、面、體稱(chēng)為幾何圖形。
平面圖形：圖形所表示的各個(gè)部分都在同一個(gè)平面內(nèi)。
立體圖形：圖形所表示的各個(gè)部分不在同一個(gè)平面內(nèi)。
6.2.?線段、射線和直線
線段可以用表示它的兩個(gè)端點(diǎn)的大寫(xiě)字母表示，也可以用一個(gè)小寫(xiě)字母表示，如：“線段AB”或“線段BA”或“線段a”。
直線可以用它上面任意兩個(gè)點(diǎn)的大寫(xiě)字母表示，也可以用一個(gè)小寫(xiě)字母表示，如：“直線AB”或“直線BA”或“直線a”。
射線用表示它的端點(diǎn)和射線上另外任意一點(diǎn)的兩個(gè)字母表示，表示端點(diǎn)的字母要寫(xiě)在前面，不能顛倒。
直線有下面的基本事實(shí)：
經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條而且只有一條直線。(即：兩點(diǎn)確定一條直線)
6.3.?線段的長(zhǎng)短比較
線段有下面的基本事實(shí)：
在所有連結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短。(即：兩點(diǎn)之間線段最短)
連結(jié)兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度叫做這兩點(diǎn)間的距離。
6.4.?線段的和差
一般地，如果一條線段的長(zhǎng)度是另兩條線段的長(zhǎng)度的和，那么這條線段叫做另兩條線段的和;如果一條線段的長(zhǎng)度是另兩條線段的長(zhǎng)度的差，那么這條線段就叫做另兩條線段的差。
6.5.?角與角的度量
角是由兩公條公共端點(diǎn)的射線所組成的圖形，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做這個(gè)角的頂點(diǎn)。
角也可以看成是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形，起始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊。
度、分、秒是角的基本度量單位。
1度=60分，1分=60秒
6.6.?角的大小比較
等于90。的角是直角，小于90。的角是銳角，大于直角而小于平角的角是鈍角。
6.7.?角的和差
一般地，如果一個(gè)角的度數(shù)是另兩個(gè)角的度數(shù)的和，那么這個(gè)角就叫做另兩個(gè)角的和;如果一個(gè)角的度數(shù)是另兩個(gè)角的度數(shù)的差，那么這個(gè)角就叫做另兩個(gè)角的差。
從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。
6.8.?余角和補(bǔ)角
如果兩個(gè)銳角的和是一個(gè)直角，我們就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，簡(jiǎn)稱(chēng)互余，也可以說(shuō)其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角。
如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，我們就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱(chēng)互補(bǔ)，也可以說(shuō)其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角。
同角或等角的余角相等。
同角或等角的補(bǔ)角相等。
6.9.?直線的相交
如果兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩條直線相交。
該公共點(diǎn)叫做這兩條直線的交點(diǎn)。
對(duì)頂角的頂點(diǎn)相同，角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線。
對(duì)頂角相等。
當(dāng)兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中有一個(gè)是直角，我們就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線是另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。
在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線。
連結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。
從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。
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