懸而未決三十載，上海科技大學(xué)數(shù)學(xué)所教授破解兩項(xiàng)世界難題

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　　上?？萍即髮W(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)研究所岳海天教授與合作者最近的兩項(xiàng)研究成果分別發(fā)表于《數(shù)學(xué)年鑒》(Annals of Mathematics) 和《數(shù)學(xué)新進(jìn)展》(Inventiones Mathematicae)，相繼徹底解決了色散方程領(lǐng)域懸而未決近三十年的兩個(gè)難題：二維高階非線(xiàn)性薛定諤方程和三維三階非線(xiàn)性波方程下的吉布斯測(cè)度不變性問(wèn)題。

　　色散偏微分方程是偏微分方程領(lǐng)域中最受關(guān)注的研究方向之一。上世紀(jì)80 年代末和 90 年代初菲爾茲獎(jiǎng)獲得者J. Bourgain、美國(guó)科學(xué)院院士 J. L. Lebowitz 及其合作者們開(kāi)啟了用概率方法研究非線(xiàn)性薛定諤方程的統(tǒng)計(jì)力學(xué)性質(zhì)的先河。由于其豐富的物理和數(shù)學(xué)內(nèi)涵，非線(xiàn)性薛定諤和波方程下的不變吉布斯測(cè)度 (invariant Gibbs measure) 的研究成為了色散方程領(lǐng)域最前沿?zé)狳c(diǎn)一個(gè)方向。繼90年代J. Bourgain 解決了一維和二維的三階非線(xiàn)性薛定諤方程以及二維高階非線(xiàn)性波方程的吉布斯測(cè)度的不變性問(wèn)題以后，二維高階非線(xiàn)性薛定諤方程和三維三階非線(xiàn)性波方程下的吉布斯測(cè)度的不變性問(wèn)題便成為了領(lǐng)域最亟待解決的兩大難題。

　　2019 年，岳海天及其合作者芝加哥大學(xué)鄧煜 、馬薩諸塞大學(xué)阿默斯特分校Andrea R. Nahmod開(kāi)創(chuàng)性地提出了隨機(jī)平均算子方法 (見(jiàn)圖 1)，從而徹底地解決了上述第一個(gè)難題。歷經(jīng)五年的審稿，該成果刊登于今年8月30日出版的《數(shù)學(xué)年鑒》。文中還開(kāi)創(chuàng)性地提出了適定性理論的概率臨界猜想，其中概率臨界的概念成功地從直覺(jué)性?度引領(lǐng)了后續(xù)研究。這一猜想的提出是自1996 年J. Bourgain的工作以來(lái)該領(lǐng)域最重要的進(jìn)展之一，它大力地推進(jìn)了人們對(duì)隨機(jī)初值在非線(xiàn)性色散方程下演化結(jié)構(gòu)的理解。

圖1

　　隨后，上述三位作者與合作者普林斯頓大學(xué) B. Bringmann解決了前述第二個(gè)難題，即三維三階非線(xiàn)性波方程的吉布斯測(cè)度的不變性問(wèn)題，成果發(fā)表在今年4月29日出版的《數(shù)學(xué)新進(jìn)展》上。前述概率臨界猜想為解決該難題提供了深刻的洞見(jiàn)。在這篇長(zhǎng)達(dá) 279 頁(yè)的論文中，岳海天與合作者創(chuàng)造性地運(yùn)用了概率論、調(diào)和分析、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、偏微分方程等數(shù)學(xué)分支中的隨機(jī)量子化、擬控制理論、格點(diǎn)計(jì)數(shù)估計(jì)、隨機(jī)張量理論、分子圖分析等多種復(fù)雜技術(shù)工具從而證明了在吉布斯概率初值下三維三階波方程會(huì)按照既定結(jié)構(gòu)演化 (見(jiàn)圖2 )。

圖2

　　值得一提的是，岳海天及合作者在本次發(fā)表于《數(shù)學(xué)年鑒》上的論文基礎(chǔ)上發(fā)展出了隨機(jī)張量理論，從而完整地解決了薛定諤方程概率次臨界適定性問(wèn)題。該問(wèn)題也是近三十年來(lái)備受關(guān)注的難題之一，相關(guān)成果已于2021年11月發(fā)表在《數(shù)學(xué)新進(jìn)展》。

　　《數(shù)學(xué)新進(jìn)展》和《數(shù)學(xué)年鑒》均位列學(xué)界公認(rèn)的“四大純數(shù)學(xué)期刊”。前者創(chuàng)刊于1961年，致力于發(fā)表純數(shù)學(xué)各領(lǐng)域的新突破，這是岳海天第二次在該期刊上發(fā)表論文。后者創(chuàng)辦于 1884 年，由普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系與普林斯頓高等研究院合作出版，每年僅接受約 30 篇文章，在其上發(fā)文之難不言而喻。岳海天表示：“我很幸運(yùn)能和兩位出色的數(shù)學(xué)家合作，發(fā)揮各自所長(zhǎng)，我們的文章能夠出現(xiàn)在《年鑒》上是莫大的榮幸，也是夢(mèng)想成真。”

　　岳海天于2021年加入上?？萍即髮W(xué)，目前是數(shù)學(xué)所助理教授。“海天如此年輕就有這樣的成就，我和上科大數(shù)學(xué)所為他感到非常自豪!”創(chuàng)始所長(zhǎng)陳秀雄難掩興奮。“海天和他的合作者們?cè)谶@一系列文章中創(chuàng)建的新理論，引進(jìn)的新方法和提出的新猜想必將深刻的影響色散方程和相關(guān)領(lǐng)域的研究。”

　　文章鏈接：

　　/article/10.1007/s00222-024-01254-4

　　https://annals.math.princeton.edu/2024/200-2/p01

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