重心的定義是什么(物體重心的定義及性質(zhì))

1.垂心：

〈1〉定義：是三角形三條高的交點。

〈2〉性質(zhì)：

[性質(zhì)1] 銳角三角形的垂心在三角形內(nèi);直角三角形的垂心在直角頂點上;鈍角三角形的垂心在三角形外。

[性質(zhì)2] 三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心;或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心。

[性質(zhì)3] 垂心O關(guān)于三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓圓上。

[性質(zhì)4] △ABC中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，。

[性質(zhì)5]O、A、B、C四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心(并稱這樣的四點為--垂心組)。

[性質(zhì)6] △ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圓是等圓。

[性質(zhì)7] 三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。

[性質(zhì)8]設(shè)O、 H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC, ∠BCO=∠HCA.

[性質(zhì)9] 銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍，即 AH BH CH = 2（r R）。

[性質(zhì)10] 銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心;銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。

[性質(zhì)11] 設(shè)H為非直角三角形的垂心，且D、E、F分別為H在BC，CA, AB.上的射影，H1,H2，H3分別為△AEF,△BDF，△CDE的垂心，則△DEF≌△H1 H2H3.

[性質(zhì)12] 三角形垂心H的垂足三角形的三邊，分別平行于原三角形外接圓在各頂點的切線。

2.內(nèi)心

〈1〉定義：是三角形三條內(nèi)角平分線的交點 即內(nèi)接圓的圓心。

即AE、BF、CD分別平分角BAC、角ABC、角BCA，且AE、BF與CD相交于點O，點O即為△ABC的內(nèi)心。

〈2〉性質(zhì)：

[性質(zhì)1] 三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等,都等于內(nèi)切圓半徑r.

[性質(zhì)2] ∠ BOC=90° ∠BAC/2。

[性質(zhì)3] 在Rt△ABC中,∠A=90°,三角形內(nèi)切圓切BC于D，則S△ABC=BDxCD

3.重心：

〈1〉重心的定義：重心是三角形三條中線的交點。

〈2〉重心的性質(zhì)：

[性質(zhì)1] 三角形的重心到邊的中心與到這條邊所對的頂點的距離之比為1:2，即OD：OA = 1：2 ；

OE：OC = 1：2 ；

OF：OB = 1：2 。

[性質(zhì)2] 重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等，即S△AOB=S△BOC=S△AOC。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。

[性質(zhì)3] 重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

[性質(zhì)4] 在平面直角坐標系中,重心的坐標是頂點坐標的算術(shù)平均數(shù)。即在△ABC中，若點A（X1、Y1）、B（X2、Y2）、C（X3、Y3），則其重心點O的坐標為{（X1 Ⅹ2 X3）/3、（Y1 Y2 Y3）/3}。

4.外心：

〈1〉外心的定義：外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點， 即外接圓的圓心。

〈2〉外心的性質(zhì)：

[性質(zhì)1] 若O是△ABC的外心,則∠BOC=2∠A（∠A為銳角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A為鈍角）。

[性質(zhì)2] 當三角形為銳角三角形時,外心在三角形內(nèi)部；當三角形為鈍角三角形時,外心在三角形外部；當三角形為直角三角形時,外心在斜邊上,與斜邊的中點重合。

[性質(zhì)3] 外心到三頂點的距離相等，即OA=OB=OC。

5.旁心：

〈1〉旁心的定義：

是三角形兩條外角平分線和一條內(nèi)角平分線的交點。

〈2〉旁心的性質(zhì)：

[性質(zhì)1] 旁心到三角形三邊的距離相等，即OE=OF=OG。

[性質(zhì)2]任何三角形都有3個旁心，且不相鄰的內(nèi)角平分線過旁心。

[性質(zhì)3] 任意一個三角形都有三個旁切圓，三個旁心。旁心一定在三角形外。即⊙O1、⊙O2、⊙O3是△ABC的三個旁切圓， 〇1、〇2、〇3是△ABC的3個旁心，它們都在△ABC的外部。

[性質(zhì)3] 直角三角形斜邊上的旁切圓的半徑等于三角形周長的一半{假設(shè)△ABC是Rt△，且∠A=90度，⊙O1是斜邊BC上的旁切圓，則此旁切圓的半徑R1=1/2（AB BC AC）}。